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lunes, enero 29, 2018

Cómo son mis nuevos estudiantes

Yo no diría mediocridad. A mi me parece que es un proceso de adaptación evolutiva a unas condiciones distintas a las que tuvimos nosotros y esa adaptación la hicieron de manera brillante. Por supuesto, que a mi no me gusta hacia lo que condujo ese proceso evolutivo.

Voy a compartir aquí de que se trata porque es algo muy interesante, es un proceso que estoy estudiando desde hace varios semestres y es que me he dado cuenta que el sistema educativo, como tu dices, ha formado estudiantes con unas características que sorprenden. Recuerdo que cuando empecé como preparador o profesor hace más de 20 años, la gente estudiaba mal como siempre y a la hora de resolver el examen se equivocaban con mucha frecuencia en las cuentas, pero tenían más o menos noción de lo que estaban haciendo. Uno les preguntaba, por ejemplo ¿qué es la interpolación? y esa era una pregunta trivial. Las definiciones se tenían claras, fallaban generalmente en la parte operativa. En Householder era un desastre, por ejemplo. Les costaba mucho.

Ahora no, son unas máquinas sacando cuentas. Son el primer ejercicio que resuelven en el exámen. Son muy buenos en el cómo hacer las cosas. Pero no tienen ni idea de lo que están haciendo, ni de los conceptos y definiciones, ni del contexto y mucho menos son capaces de inferir o deducir algo con el background que tienen. O mejor dicho, su background son islas de información completamente desconectadas y capacidad operativa. A veces bromeo para mi y me digo que esos chamos no son capaces de pasar el Test de Turing.

Por supuesto que sé de donde viene todo. Es un sistema educativo que forma gente funcional, piezas de un engranaje que funcione sin saber. Hago énfasis: que funcione sin saber. Gente que sirva, pero que no piense de manera crítica. Eso es lo que forma nuestro sistema educativo, la manera como lo hace ya la identifiqué, simple condicionamiento operativo.

Una de las premisas que estoy manejando es que la forma de evaluar condiciona la manera como los estudiantes responden, estudian. Si, por ejemplo, en un examen de historia, los estudiantes saben que les van a preguntar las fechas de las batallas y de nacimiento de los próceres, ellos van a olvidar el contexto de la historia y se van a enfocar en aprender solamente las fechas. En el exámen van a salir bien, sin saber nada de historia y al final del curso también van a olvidar las fechas o las van a confundir como en efecto sucede. De ese background de conocimiento histórico no van a poder inferir nada porque el conocimiento está completamente desestructurado. Y dirán que la historia no sirve para nada. Exactamente igual es con las matemáticas.

He estado haciendo experimentos al respecto, y en verdad he logrado mejorar muchísimo el rendimiento de los estudiantes. Llevo dos semestres seguidos con prácticamente 100% de aprobados entre los que se quedaron. Sin embargo, no creo que hayan aprendido mucho. Simplemente, se adaptaron a mi experimento con éxito.
Hoy repetí una experiencia que me había arriesgado a hacer hace más de un año. Una pregunta de 14 puntos que era simplemente: Diserte acerca de la Interpolación polinomial. Y los tipos son tan fenómenos que lograron escupirme todas las fórmulas, pero el detalle estaba en que no había un discurso. Mucho menos un discurso científico. Todo el conocimiento allí desparramado estaba desconectado. Se caletrearon las fórmulas y las colocaron sin errores (y no eran fáciles de aprender), pero no fueron capaces de relacionar una cosa con la otra, o más grave, lo hicieron mal. Se supone que era la parte fácil Bastaba simplemente saber lo que estabas haciendo.

Yo sé cómo y cual es el proceso histórico en la educación que hizo que llegáramos a esto y también conozco cual es la intención. Que tipo de hombre quieren formar. Y también sé como revertir este proceso. Espero no amanecer asesinado jajajaja

jueves, noviembre 08, 2012

La hipótesis del continuo: del susto de Cantor a la prueba de Cohen

Tomado de Gaussianos.com

El concepto de infinito es un concepto complicado de entender (de hecho no sé si alguien es capaz de comprenderlo a la perfección), como ya hemos comentado en una gran cantidad de ocasiones. Pero si es complicado ahora, mucho más lo era en el siglo XIX, cuando Georg Cantor realizó sus importantes estudios sobre los cardinales infinitos y dejó la famosa conjetura denominada hipótesis del continuo.

El matemático ruso Georg Cantor es conocido por ser uno de los pioneros de la teoría de conjuntos moderna, y por demostrar, mediante su conocidométodo diagonal, que el conjunto de los números naturales, $\mathbb{N}$ , y el de los números reales, $\mathbb{R}$ , no tienen la misma cantidad de elementos, aun siendo los dos conjuntos infinitos. Estos hechos causaron un gran revuelo en las matemáticas de la época, y todavía hoy siguen sorprendiendo a todo el que se encuentra con ellos por primera vez.

Cantor llamó aleph-0, $\aleph_0$ , al cardinal del conjunto de los números naturales (recordemos que cardinales algo así como cantidad de elementos), el conjunto infinito más pequeño. Por otra parte, demostró que si tomamos todos los subconjuntos de un cierto conjunto A, entonces el conjunto formado por dichos subconjuntos, denominadopartes de A, $\mathcal{P} (A)$ , tiene cardinal mayor que el propio A. Recordando que $|A|$ representa el cardinal de A, se tiene entonces que:

$|A| < |\mathcal{P} (A)|$

Trasladando esto a los números naturales tenemos entonces que

$|\mathbb{N}| < |\mathcal{P} (\mathbb{N})|$

Es decir:

$\aleph_0 < |\mathcal{P} (\mathbb{N})|$

Definiendo $\aleph_1$ como el menor cardinal infinito mayor que $\aleph_0$ , y aplicando el mismo razonamiento, obtenemos una cadena de desigualdades estrictas entre estos cardinales de conjuntos infinitos, estos alephs, que se denominan números transfinitos:

$\aleph_0 < \aleph_1 < \aleph_2 < \ldots$

Volvamos al principio de esta entrada. Allí comentamos algo sobre la relación entre el cardinal de los números naturales, $\aleph_0$ , y el de los números reales, que es…¿Cuál es? En principio Cantor sabía que era superior a $\aleph_0$ , nada más. Lo llamó $c$ , por lo de continuo (los números reales llenan la recta real, forman una sucesión continua de números). Y lo que ha pasado a la historia con la denominación de hipótesis del continuo es el siguiente enunciado:

No hay ningún cardinal infinito mayor que $\aleph_0$ y menor que $c$ .

Dado que el cardinal de los números reales, $c$ , es igual a $2^{\aleph_0}$ , la hipótesis del continuo se reduce a la siguiente igualdad:

La hipótesis del continuo afirma que:

$2^{\aleph_0}=\aleph_1$

Es decir, que el cardinal de los números reales es el número transfinito $\aleph_1$ , el inmediatamente superior al cardinal de los números naturales. Vamos, que no hay ningún infinito entre los naturales y los reales.

Evidente, ¿verdad? Pues no, ni mucho menos era evidente. Y una prueba más que significativa de ello es que David Hilbert incluyó la hipótesis del continuo en su célebre lista de 23 problemas que presentó en el Congreso Internacional de Matemáticos (ICM) del año 1900. Y no solamente lo incluyó, sino que lo colocó en el primer lugar de su lista. Por tanto de evidente nada, y de importante mucho.

Y fue precisamente en otro ICM en el que la hipótesis del continuo fue auténtica protagonista. El 10 de agosto de 1904, dentro del ICM que se estaba celebrando en la ciudad alemana de Heidelberg, el matemático ruso Julius König impartió, con Hilbert y Cantor presentes, una conferencia en la demostró que la hipótesis del continuo era falsa. Cantor había realizado grandes esfuerzos para demostrar este resultado, pero no llegó a conseguirlo.

Efectivamente, el interés que había suscitado la intervención de König estaba plenamente justificado. En la discusión posterior a la conferencia, el propio Cantor agradeció públicamente a Dios haberle permitido vivir para ver la refutación de su error…pero elsusto le duró poco a Cantor: unas semanas después se descubría que la demostración contenía un error (lo descubrió Zermelo), por lo que la hipótesis del continuo continuaba sin demostración. Y así siguió hasta la muerte de Cantor…

…y seguirá para siempre.

- ¿Cómo? ¿Para siempre?

Sí, para siempre.

- ¿Y se puede saber por qué estás tan seguro de ello?

Sí, claro que se puede saber: porque la hipótesis del continuo es indemostrable.

- ¿Einnn?

Lo que habéis leído: indemostrable. Indemostrable en el sistema de axiomasZermelo-Fraenkel-Axioma de Elección(Zermelo-Fraenkel-Choice, ZFC) de la teoría de conjuntos. Veamos por qué.

En 1940 Kurt Gödel demostró que la hipótesis del continuo no puede ser refutada en el sistema ZFC. Para ello, Gödel añadió la propia hipótesis del continuo como axioma a los de ZFC y demostró que se obtenía un sistema consistente. Por otra parte, Paul Cohendemostró en 1963 que la hipótesis del continuo no puede ser demostrada en ZFC añadiendo el contrario de la hipótesis del continuo a ZFC y demostrando, como Gödel, que el sistema de axiomas que se obtenía era de nuevo consistente.

La prueba de Cohen cerraba el círculo: la hipótesis del continuo no se puede ni demostrar ni refutar dentro del sistema axiomático que está aceptado como el quegobierna la teoría de conjuntos, que es ZFC. Es decir, la hipótesis del continuo es independiente de ZFC, lo que significa que se puede construir una teoría de conjuntos consistente donde la hipótesis del continuo sea cierta y también puede construirse una teoría de conjuntos consistente donde dicho resultado sea falso. Vamos, como la cuestión del postulado de las paralelas, pero en teoría de conjuntos. Maravilloso, a la par que inquietante.

Al parecer Cantor creía firmemente que la hipótesis del continuo era cierta, y, como hemos dicho antes, dedicó muchos esfuerzos a demostrar su veracidad. Pero, evidentemente, no lo consiguió. Una auténtica lástima que no llegara a vivir el tiempo suficiente para saber la verdad.

miércoles, marzo 05, 2008

Matemática, ¿dónde estás?

Max Seitz
BBC Mundo, Argentina

Portada del libro "Matemática ¿Estás ahí?"

El libro "Matemática...¿Estás ahí?" ha vendido cientos de miles de ejemplares en Argentina.

Si le menciono la matemática, ¿qué le viene a la mente? Probablemente que no le gusta, que está fuera de su comprensión o que le recuerda las malas notas de la época escolar.

Sin embargo, en Argentina se ha generado una verdadera pasión por esta disciplina.

Un libro en serie titulado "Matemática... ¿Estás ahí?" se ha convertido en un éxito en este país y ha vendido cientos de miles de ejemplares. El secreto ha sido mostrar el costado curioso y divertido de esta rama del conocimiento, sacándola del ámbito académico y mostrando su utilidad en la vida cotidiana.

El autor de la obra, que por ahora tiene tres tomos, es Adrián Paenza, de 58 años, periodista y matemático de la Facultad de Ciencias y Naturales de la Universidad de Buenos Aires.

Historias con números, personajes, problemas y reflexiones -todo expuesto de un modo atractivo y claro- han contribuido a que la obra se un "best-seller".

"Una comunicación distinta de la matemática ayuda que la gente entienda que lo que cree que es esta ciencia pero en realidad no lo es", le dijo Paenza a BBC Mundo desde su casa en Chicago, donde vive varios meses al año.

"A mí me gustaría que a la matemática se le diera una segunda oportunidad, porque lo que nos muestran en la escuela no es lo más atractivo; no se enseña, por ejemplo, la teoría de juegos".

"Además, siempre se exponen soluciones sin que los chicos se planteen siquiera los problemas y no se promueve el placer de descubrir. Es lógico, entonces, que la matemática aburra y cause rechazo", concluye.

"Mala prensa"

Adrián Paenza/FOTO: Soledad Aznarez/Gentileza LA NACIÓN

Me gustaría que a la matemática se le diera una segunda oportunidad, porque lo que nos muestran en la escuela no es lo más atractivo

Adrián Paenza, autor de "Matemática...¿Estás ahí?"

Según Paenza, la "mala prensa" que tiene la matemática suele transmitirse de generación en generación, de abuelos a padres y de padres a hijos.

Y traza una recta hacia el punto al que, a su modo de ver, deben llegar los educadores: "Esta ciencia tiene una belleza intrínseca, una capacidad para detectar patrones, codificar mensajes (criptografía); se relaciona con lo lúdico y con las estimaciones".

Paenza afirma que la matemática está presente en la vida cotidiana y explica que, por ejemplo, todos "estimamos" al salir de nuestras casas al trabajo, calculando a qué hora debemos levantarnos y cuánto tiempo tenemos desde que nos despertamos hasta que llegamos a la oficina.

"También estimamos cuando decidimos cuánto dinero llevar en la cartera o cuando cruzamos la calle de modo tal que evitamos que un automóvil nos atropelle".

En su caso personal, Paenza asegura que, además de apasionarlo, la matemática le ha ayudado a tomar mejores decisiones en su vida, porque le ha servido para evaluar sus posibilidades de manera más sistemática.

Sin embargo, no pudo prever el éxito que iba a tener su obra. "Me sorprendió. Si yo hubiera sabido que esto iba a pasar, habría escrito los libros hace veinte años".

Números por doquier

En "Matemática...¿Estás ahí?", un pasaje está dedicado a los "números grandes", es decir, aquellos que suelen ser difíciles de abarcar por nuestras mentes, como ocurre con las deudas externas o las ganancias de una multinacional.

"En el mundo hay más de seis mil millones de personas (...) Parece mucho. ¿Pero qué es mucho? (...) Lo que yo hago frente a estas magnitudes es compararlas, contrastarlas con algo que me sea más fácil representar".

No importa si uno no sabe idiomas, porque los números son universales. No sé si hay en el mundo otros signos que sean tan compartidos como estos

Adrián Paenza, autor de "Matemática...¿Estás ahí?"

Y prosigue: "El estado de Texas (...) podría albergar a toda la población mundial (...) Nosotros, los humanos, podríamos juntarnos en Texas y tener cada uno una parcela de 70 metros cuadrados para vivir. ¿No está mal, no?

Sean grandes o pequeños, Paenza sostiene que los números están "impregnados" en nuestra vida como ninguna otra cosa y que muchos de ellos nos resultan significativos.

"¿El 1492 le dice algo? El descubrimiento de América. ¿Y el 13? La mala suerte, por ejemplo. ¿Y el diez? Podrían ser los mandamientos o Diego Maradona".

Paenza dice que si hubiera que escribir todas estas cifras, lo harían igual un inglés, un alemán, un italiano o un chino: "No importa si uno no sabe idiomas, porque los números son universales. No sé si hay en el mundo otros signos que sean tan compartidos como estos".

Ciencia viva

Por más que tenga un aura de perfección, la matemática tiene lagunas, paradojas y problemas sin resolver.

En este sentido es como la medicina, la física, la paleontología o cualquier otra rama del conocimiento humano: necesita progresar y mejorar.

"La matemática está viva como cualquier otra ciencia. La cantidad de trabajos nuevos que se publican en esta disciplina es increíble. En todo el mundo se producen unos 200.000 teoremas por año", precisa Paenza.

"Pero lamentablemente estos avances permanecen alejados del público. Y es aquí donde yo intento aportar mi granito de arena, difundiendo lo que muchos desconocen".

martes, febrero 19, 2008

Falacia Ad-Hominem

Es como si estuviera de moda utilizar la Falacia Ad-Hominem. Lógica para todos!

Argumentum ad hominem

De Wikipedia, la enciclopedia libre

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Un argumento ad hóminem o argumentum ad hominem (en latín, ‘dirigido a la persona’), es un tipo de razonamiento que se construye a medida de la persona a quien se dirige, apoyándose en las convicciones del interlocutor. No debe confundirse con la falacia ad hóminem, que no pretende argumentar sino atacar o descalificar al adversario.

Los clásicos denominaban al argumento ad hóminem con la expresión argumentum ex concessis, es decir, que usa en su favor los argumentos aceptados o concedidos (ex concessis) por el interlocutor. Fue Locke (creador de los argumentos en ad) quien lo renombró como ad hominem. Sócrates, por ejemplo, lo empleaba continuamente. Un ejemplo muy conocido es el de Tito Livio refiriéndose a la forma en que Aníbal persuadía a sus hombres:

Aníbal [tras cruzar los Alpes], empleó toda clase de exhortaciones para animar aquélla confusa mezcla de hombres que nada tenían en común, ni la lengua, ni las costumbres, ni las leyes, ni las armas, ni los trajes, ni el aspecto ni los intereses. A los auxiliares les habló de alta paga por el momento y ricos despojos en el repartimiento del botín. Hablando a los galos, avivó en su ánimo el fuego de aquel odio nacional y natural que alimentaban contra Roma. A los ojos de los ligures hizo brillar la esperanza de cambiar sus abruptas montañas por las fértiles llanuras de Italia. Asustó a los moros y númidas con el cuadro del cruel despotismo con que los abrumaría Masinissa; y dirigiéndose a los demás les señalaba otros temores y otras esperanzas. A los cartagineses habló de las murallas de la patria, de los dioses penates, de los sepulcros de sus padres, de sus hijos, de sus parientes, de sus esposas desoladas.

Tito Livio, XXX

Por ejemplo, como señala Schopenhauer parafraseando a Aristóteles, si el interlocutor «es partidario de una secta con la que no estamos de acuerdo, podemos utilizar contra él las máximas de esa secta como principia».^[1]

Los tratadistas consideran que el argumento ad hóminem es un recurso que se utiliza con fines prácticos (en discusiones filosóficas, jurídicas, políticas, etc.) siempre que se pretende persuadir a alguien de algo, lo cual exige compartir con el auditorio algunas de las premisas, aunque sea de forma solo teórica:

Las posibilidades de argumentación dependen de lo que cada uno está dispuesto a conceder, de los valores que reconoce, de los hechos sobre los que señala su conformidad; por consiguiente, toda argumentación es una argumentación "ad hominem" o "ex concessis".

Chaim Perelman

Tabla de contenidos

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Falacia ad hóminem [editar]

La falacia ad hóminem consiste en intentar descalificar personalmente a un adversario, en lugar de refutar sus afirmaciones. Una falacia ad hóminem tiene esta estructura:

A afirma B;
Hay algo cuestionable acerca de A,
Por tanto, B es falso.

Los argumentos positivos acerca de la persona se describen en recurso a la autoridad.

El argumento ad hóminem es una de las falacias lógicas más conocidas. Tanto la falacia en sí misma como la acusación de haberse servido de ella se utilizan como recursos en discursos reales. Como una técnica retórica, es poderosa y se usa a menudo —a pesar de su falta de sutileza— para convencer a quienes se mueven más por sentimientos y por costumbres acomodaticias que por razones lógicas.

Uso [editar]

Una falacia ad hóminem consiste en afirmar que un argumento de alguien es erróneo sólo por algo acerca de la persona, no por problemas en el argumento en sí. El mero hecho de insultar a una persona dentro de un discurso —de otro modo racional— no constituye necesariamente una falacia ad hominem. Debe quedar claro que el propósito del ataque sea desacreditar a la persona que está ofreciendo el argumento y, específicamente, invitar a los demás a no tomar lo que afirma en consideración.

No todos los argumentos ad hóminem son negativos. Es posible argumentar que algo es cierto por quién lo afirma (argumento de autoridad).

Validez [editar]

El argumento ad hóminem es falaz cuando se aplica a la deducción, y no a la evidencia (o premisa) de un razonamiento aunque se puede aplicar tanto a la deducción como a la evidencia por medio de la persuasión.

Puede dudarse de una prueba o rechazarla dependiendo de su origen por razones de credibilidad, pero dudar o rechazar una deducción basándose en su fuente es la falacia ad hóminem.

Las premisas que desacrediten a una persona pueden existir en razonamientos válidos, cuando la persona criticada es la única fuente de una prueba usada en uno de sus argumentos. Se puede aplicar tanto a la deducción como a la evidencia por medio de la persuasión

Subtipos [editar]

Se identifican tres variedades tradicionales de la falacia ad hóminem: ad hóminem abusivo, ad hóminem circunstancial y tu quoque.

Ad hóminem abusivo [editar]

El ad hóminem abusivo (también llamado argumentum ad personam) a menudo consiste en un simple (y normalmente inmerecido) insulto al oponente, pero también puede implicar la mención de fallos de carácter o acciones discutibles. La razón por la cual es falaz es que, normalmente, los insultos e incluso los defectos del oponente no afectan a la veracidad o al soporte lógico de sus afirmaciones.

"Usted no puede afirmar que mi acción es inmoral porque ha estado en la cárcel".

El hecho de que alguien haya estado en la cárcel no convierte en morales las acciones de su interlocutor ni le impide denunciarlas, y ambos hechos carecen de relación entre sí.

"Juan dice que Miguel es un estafador".

"¿Juan? Mira, ese mejor se calla, que yo lo he visto detrás de las niñas del instituto".

El hecho de que Juan se sienta atraído por las jovencitas no invalida su argumento de que Miguel sea un estafador, y ambos hechos carecen de relación alguna entre sí.

Ad hóminem circunstancial [editar]

El ad hóminem circunstancial implica mencionar que alguien se encuentra en una circunstancia en la cual está predispuesta a tomar una determinada posición. Esencialmente consiste en atacar la neutralidad del interlocutor. La razón por la que es falaz es que las predisposiciones del oponente no afectan a la veracidad de sus argumentos desde un punto de vista lógico.

"Las compañías de tabaco se equivocan cuando dicen que fumar no afecta seriamente tu salud, porque sólo están defendiendo sus negocios multimillonarios."

El hecho de que estén defendiendo sus negocios no invalida automáticamente sus afirmaciones, cuya falsedad debe ser demostrada mediante pruebas científicas.

"¿Pedro dice que las condiciones de trabajo son peligrosas? ¡Qué va a decir ese, si es un comunista!"

El hecho de que Pedro sea comunista no invalida su argumento de que un determinado trabajo sea, en efecto, peligroso.

Es importante distinguir entre un razonamiento racional y uno correcto según la lógica. Estos razonamientos no son correctos si se mira estrictamente su lógica.

Tu quoque [editar]

Artículo principal: tu quoque

Tu quoque (literalmente, "tú también") puede denominarse también como el "argumento de la hipocresía". Se produce cuando una afirmación se descarta o bien porque es inconsistente con otras afirmaciones que ha hecho el interlocutor o bien porque es insconsistente con sus acciones.

"Dices que los aviones vuelan por leyes físicas, pero no es cierto, porque antes decías que lo hacían mediante la magia."

El hecho de que antes haya dicho que los aviones volaban por medio de la magia no niega la situación de la nueva afirmación en la cual se argumenta que vuelan por leyes fisicas.

"¿Y tú me dices que beber es malo? ¡Si son las ocho de la mañana y ya estás como una cuba!"

El hecho de que alguien esté borracho o sea un alcohólico no invalida, desde un punto de vista estrictamente lógico, el argumento de que beber alcohol en exceso es malo para la salud.

Referencias [editar]

↑ Arthur Schopenhauer, El arte de tener razón, Alianza Editorial, Madrid, 2004, pág. 40.

Bibliografía [editar]

Ricardo García Damborenea, Uso de razón, Madrid, Biblioteca Nueva, 2000.
Arthur Schopenhauer, El arte de tener razón. Madrid, Alianza, 2004.
Chaim Perelman y L. Olbrechts-Tyteca, Tratado de la argumentación, Madrid, Gredos, 1989.

Véase también [editar]

Obtenido de "http://es.wikipedia.org/wiki/Argumentum_ad_hominem"

Categorías: Falacias lógicas | Frases y citas latinas

martes, noviembre 13, 2007

Autorreferencia legal y la anécdota de Kurt Gödel y la constitución de EE.UU.

Tomado de: Microsiervos.com

Autorreferencia legal y la anécdota de Kurt Gödel y la constitución de EE.UU.

El Tribunal Constitucional español tiene que decidir sobre la constitucionalidad de su propia reforma, cuentan en iAbogado.com. En una doble pirueta además resulta que

(…) al suceder esto, han llovido las recusaciones de magistrados por diversos motivos. La cosa ha llegado a tal extremo que el presidente en funciones, Vicente Conde, ha consultado a los magistrados su opinión sobre la viabilidad de convocar un Pleno de los diez magistrados para examinar las cinco recusaciones que deben ser resueltas. Si se llegara a celebrar, cinco de ellos, ¡enjuiciarían sus propias recusaciones!

Esto me recordó una anécdota sobre la lógica de los sistemas legales que cuentan del matemático Kurt Gödel y que leí en su deliciosa mini-biografía La mente más maravillosa del siglo XX.

Resulta que en 1948 Gödel solicitó la ciudadanía norteamericana, y entonces

Siendo alguien que se tomaba las cosas realmente en serio, aunque se pudiera tratar de meras formalidades, decidió estudiar en detalle la Constitución de los EE.UU. para su examen de nacionalización. El día antes del mismo llamó a Oskar Morgenstern -brillante matemático de origen alemán, padre de la Teoría de Juegos- muy nervioso: había descubierto una inconsistencia lógica en la Constitución por la que se podía instaurar una dictadura en los EE.UU. Morgenstern intentó calmarle, temeroso de las consecuencias que un comentario sobre eso podría tener sobre sus posibilidades de nacionalizarse.

Al día siguiente el propio Morgenstern y Einstein acompañaron a Gödel, intentando distraerle para que olvidara el asunto. El juez Philip Forman, impresionado por el dúo de genios que hacían de padrinos les permitió quedarse durante el examen. En el desarrollo del mismo le pregunto a Gödel

– Vd. tenía la nacionalidad alemana hasta ahora, ¿no?
- Austriaca –le corrigió Gödel–
– Es igual –prosiguió el juez- aquello fue durante una horrible dictadura, pero afortunadamente eso no puede pasar aquí
– ¡De ninguna manera, yo puedo demostrarle que sí!

afirmó Gödel, que comenzó a explicarle el mecanismo que había descubierto.

Afortunadamente, el juez Forman le interrumpió y entre Einstein y Morgenstern consiguieron calmar a Gödel, que poco más tarde juraría su nueva nacionalidad.

Es aún un misterio qué fue lo que Gödel había descubierto. Algunos expertos apuntan que podría tratarse del Artículo V que describe cómo se cambia la Constitución, pero no pone límites en dichos cambios, aunque es difícil creer que fuera algo tan relativamente simple lo que hubiera llamado la atención de Gödel.

Por suerte tras algunos comentarios de Einstein y Morgenstein con el juez, Gödel pudo obtener la ciudadanía sin mayores problemas.

jueves, octubre 18, 2007

El filósofo del Zulia se metió a matemático

El filosofo y las matematicas
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Este está peor que su padrino G.W. Bush

martes, julio 31, 2007

Calculadora humana: ¿cómo lo hacen?

Calculadora humana: ¿cómo lo hacen?
Alexis Lemaire
Con sólo 100 dígitos, Lemaire se demoró menos de cuatro segundos.

Alexis Lemaire rompió su propio récord, lo cual no es de extrañarse pues, aunque no es el único que puede hacerlo, son pocos los seres humanos en el mundo que pueden siquiera intentar. ¿Lo duda?

¿Cree que lo estamos subestimando sin siquiera conocerlo?

Quizás, pero incluso si usted es uno de los afortunados a los que ciertamente estamos subestimando, entenderá por qué.

Trate de sacarle la raíz 13ª a 85.877.066.894.718.045. 602.549.144.850.158.599.202.771.247.748.960.878.023.151. 390.314.284.284.465.842.798.373.290.242.826.571.823.153. 045.030.300.932.591.615.405.929.429.773.640.895.967.991. 430.381.763.526.613.357.308.674.592.650.724.521.841.103. 664.923.661.204.223.

Por supuesto, no puede usar la calculadora. Y tiene que hacerlo en menos de 78 segundos, si quiere romper el récord establecido la semana pasada en el Museo de Historia de la Ciencia de Oxford.

En sólo 77,99 segundos, Lemaire tuvo la respuesta: 2396232838850303. Multiplique esté número por sí mismo 13 veces y llegará a la cifra del párrafo de arriba.

"Es bastante difícil. Me preparé mucho para esto. Más de cuatro años de trabajo y mucho entrenamiento todos los días. Mucha memorización. Se necesitan tres cosas: calcular, memorizar y habilidades matemáticas. Es mucho trabajo combinado tal vez con alguna habilidad natural", dijo Lemaire.

Sí pero, en serio, ¿cómo lo hace?

Quienes tienen una agilidad mental extraordinaria provocan fascinación.

Detalle de poster de Rain Man
Quien inspiró el personaje interpretado por Hoffman en Rain Man sufre de una malformación cerebral.
Los seres humanos "normales" siempre queremos saber cómo lo logran, pero desafortunadamente los genios y los eruditos sólo pueden ofrecer fragmentos de conocimiento respecto a la manera en que funcionan, y los científicos que los han estudiado pocas veces llegan a una conclusión definitiva.

Muchos investigadores han tratado de vincular problemas en el cerebro causados por traumas o malformaciones con capacidades mentales excepcionales, con una de las teorías proponiendo que el daño en un área propicia la compensación en otra.

Kim Peek, quien sirvió de inspiración para el personaje que interpretó Dustin Hoffman en la película Rain Man, tiene una malformación en el cerebro y un coeficiente intelectual más bajo del común, sin embargo es capaz de leer libros y memorizar grandes cantidades de información con una rapidez abrumadora.

Transformando números

Por su parte, el científico del cerebro Allan Snyder ha sugerido que probablemente todos contamos con las mismas habilidades, sólo que no sabemos como acceder a ellas.

Alexis Lemaire breaks the record in Oxford
En sus marcas, listos... Lemaire se prepara a batir su propio récord en Oxford
Tratando de explicar, Lemaire dice que lo que él hace es transformar una fila de números en otras estructuras para poder "ver" la solución a un problema.

"Cuando pienso en números a veces lo que veo es una película, otras veces frases. Yo puedo transformar los números en palabras y eso es muy importante para mí. El arte es convertir trozos de memorias en algún tipo de estructura", explica.

"Veo imágenes, frases, acciones. Es muy táctil, muy sensible. Hago asociaciones entre lugares y números. Algunos sitios son imaginarios, trato de tener una variedad, para no confundir los números. Lo importante es memorizar; tengo que ser preciso", añade Lemaire.

Su explicación es similar a la del erudito británico Daniel Tammet, quien fijo el récord mundial de recitar el número Pi en más de 22.000 dígitos en el mismo museo en 2004.

Para Tammet, cada número tiene un color y una apariencia distinta: algunos son bonitos y otros feos de manera que cada cálculo complejo forma su propio paisaje.

La habilidad de Tammet se extiende a las palabras: al parecer aprendió islandés en una semana cuando lo retaron.

"Llevo uno..."

Pero, al fin y al cabo, ¿cómo lo hacen?

Algo que sí se puede decir con cierto grado de seguridad, es que cuando Lemaire está haciendo su cálculo, en su mente no tiene que hacer lo que todavía hacemos tantos: eso de "llevo uno, bajo el dos".

Además hay una explicación para al menos parte de lo que hace: la memorización de la que habla es una serie de algoritmos, que sirven para abordar los primeros cinco dígitos de una cifra que contiene 200.

Lemaire ha refinado estos procesos de una manera inconcebible.

Para calcular la raíz 13ª de un número más sencillo, de sólo 100 dígitos, el primer récord se marcó en 1970 y fue de 23 minutos. Ahora Lemaire lo puede hacer en menos de 4 segundos.

¿Por qué él puede y otros no? Aún no está claro, pero cualquiera que sea el proceso mental que lo lleva a la respuesta, el hecho de que lo puede hacer en segundos, sin lápiz ni papel, sigue siendo fabuloso para alguien con un cerebro "normal".

Es más, siendo honestos, el sólo hecho de que lo pueda hacer, así se demorara una hora o tuviera lápiz y papel, ya de por sí es impresionante para varios de nosotros.

jueves, abril 26, 2007

¿Se le anima a un problema chino?

Mujer china pasando frente a un retrato de Mao

Nada que ver con política, sólo con matemática.

La Real Sociedad de Química del Reino Unido (RSC, por sus siglas en inglés) invita a los amantes de la matemática a resolver un problema matemático que, en China, se utiliza para evaluar a los estudiantes que desean ingresar a la universidad.

La RSC ofrece un premio de 500 libras esterlinas (casi US$1.000) a alguien que pueda resolver en GranBretaña el problema -que adjuntamos aquí abajo- de manera correcta.

Para comparar, también han publicado una prueba que uitliza una "reconocida y prestigiosa" universidad británica -no se ha hecho público el nombre- para evaluar las habilidades matemáticas de los estudiantes que buscan ingresar a estudiar allí.

Según la RSC, con sólo dar una mirada al problema chino y compararlo al británico, uno se da cuenta de cuánto más avanzada respecto a algunos países en Occidente es la educación sobre matemáticas en China, donde los jóvenes estudian el tema hasta la edad de 18 años.

Los estudiantes británicos, por ejemplo, en general dejan de estudiar matemáticas a los 16 años.

El rector de la RSC, Richard Pike, señaló que en China la matemática es vista como una parte integral de las ciencias y la economía.

"Allí, el concepto de realizar cursos de "apoyo" sobre el tema sería impensable" dijo Pike, y agregó que los problemas que deben resolver los alumnos británicos son "increíblemente simples".

El problema chino (para estudiantes que ingresan a la universidad)

El problema británico (para estudiantes de primer año)

lunes, marzo 19, 2007

Resuelven complejo problema matemático

Resuelven complejo problema matemático
Parte de la matriz E8 (Foto: David Vogan/MIT)
Fuente: BBC
La estructura es descripta en la forma de una enorme matriz.
Un equipo internacional de matemáticos logró detallar un vasta y compleja "estructura" numérica que fue inventada hace más de un siglo.

Mapear la estructura de 248 dimensiones -conocida como "E8"- tomó cuatro años de trabajo y produjo más cantidad de datos que el proyecto para descifrar el genoma humano, afirman los científicos.

El "E8" es miembro del "grupo de Lie" que describe a los objetos simétricos.

El equipo aseguró que sus conclusiones podrían ayudar a la áreas de la física que usan más de cuatro dimensiones, como la teoría de cuerdas.

Los grupos de Lie fueron inventados en el sigo XIX por el matemático noruego Sophus Lie.

Estructuras familiares como pelotas y conos tienen simetría en tres dimensiones, y los grupos de Lie sirven para describirlos.

El E8 es mucho más grande.

"Lo atractivo de estudiar el E8 es que es lo más complicado que tiene la simetría para ofrecer", dijo David Vogan, del Massachussets Institute of Technology (MIT) de Estados Unidos.

"Las matemáticas casi siempre ofrecen otro ejemplo que es más complicado del que uno está analizando; pero para los grupos Lie, el E8 es el más difícil de todos", agregó.

El profesor Vogan está presentando los resultados en el MIT en una conferencia llamada "La tabla de caracteres del E8, o cómo encontramos la matriz de 453.060 x 453.060 y descubrimos la felicidad".

Fuerza fundamental

Sophus Lie (Imagen: Sciene Photo Library)
Los grupos de Lie fueron creados por el noruego Sophus Lie.

Conceptualizar, diseñar y hacer correr la matrices requirió cuatro años a un equipo de 19 matemáticos. El cálculo final tomó tres días de procesamiento en una supercomputadora Sage.

Lo que surgió fue una matriz de números vinculados, que en su conjunto describe la estructura del E8. Contiene 60 veces más datos que la secuencia del genoma humano.

Cada una de los 205.263.363.600 enteros de la matriz son mucho más complicados que un número: algunos de ellos son complejas ecuaciones.

El equipo calculó que si todos los números son escritos en tipografía pequeña, cubrirían un área del tamaño de la isla de Manhattan sobre la que se asienta Nueva York.

Además de permitir la comprensión de la simetría y áreas relacionadas de la matemática, el equipo espera que su trabajo contribuya a áreas de la física como la teoría de cuerdas, que involucra a estructuras que poseen más que las cuatro dimensiones normales de espacio y tiempo.

"Mientras que los matemáticos saben hace tiempo de la belleza y unicidad del E8, nosotros los físicos apreciamos su papel excepcional desde hace relativamente poco", dijo Hermann Nicolai, director del Instituto Max Planck de Física Gravitacional (Instituto Albert Einstein) de Alemania.

"Sin embargo, en nuestros intentos de unificar la gravedad con las otras fuerzas fundamentales en una teoría consistente de gravedad cuántica, nos encontramos con el E8 en todas las esquinas", agregó.

VOYAGE !!! (LuisMa Blog)